Nach regem Email-Kontakt mit dem Support (hier nochmals vielen Dank) habe ich eine Lösung für mein Problem bekommen.
Lösung:
Nach dem Starten des NAS via SSH auf das NAS aufwählen und dann die Dienste stoppen:
Dann einige Dateien (am besten die aus dem Papierkorb) löschen und das NAS neu starten.
Und schon funktioniert wieder alles...
Laut Support ist das Problem mit den vollen Festplatten bereits bekannt und soll in einem der nächsten Firmware-Releases behoben werden...