Hallo Mavalok2,
vielen Dank für die kontinuierliche Hilfe. Letztlich hat es geklappt, eindeutige Fehler habe ich allerdings nicht erkennen können. Ich habe dem QNAP manuell in der FB wieder die IP-Adresse zugewiesen, die es in der alten fritzbox (also VOR dem Tausch der FB) hatte. Ansonsten habe ich keinerlei Änderungen vorgenommen. Nach einem Neustart fand sich das QNAP-System auch unter dieser alten IP im Heimnetz und war auch über die Web-Oberfläche wieder erreichbar.
Im QFinder erscheint das QNAP-System nun logischerweise auch unter der alten IP. Mir ist schleierhaft, warum das irgendwelche Auswirkungen hatte, da im QFinder ja stets die zum jeweiligen Zeitpunkt aktuelle IP angezeigt wurde, auch alle Funktionen (Netzlaufwerk etc.) erreichbar waren, nur die Oberfläche eben nicht.
Immerhin: ich werde nun ein zweites Administratorkonto anlegen für alle Fälle und eine Sicherung der Einstellungen und installierten Apps vornehmen - danke für die Hinweise!