Es ist schon das empfohlene Vorgehen den Bitbucket-Server (und einen Container) mit einem dedizierten Nutzer laufen zu lassen [Running Bitbucket Server with a dedicated user] und das wäre eigentlich auch mein Ziel.
Zwischenzeitlich habe ich mir in einer VM mal Ubuntu und Docker installiert und obiges Szenario getestet. Ich bekomme damit kein "Operation not permitted" Fehler.
Jetzt stellt sich mir die Frage, ob das nur auf meinem NAS und bei meiner Container-Station Installation (aktuelle QTS Version, aktuelle Container-Station Version) auftritt oder ob das Verhalten auch auf anderen NAS-Systemen reproduzierbar ist.