Ok das könnte vielleicht mit der "hohen" Auflösung der Monitore zusammenhängen. Bei mir läuft ein Beamer mit 1280x720 an meinem HDMI Ausgang und die Linux Station läuft ziemlich gut. Ich spiele seid kurzem sogar Retro Games (N64, PSX...) darüber. Vielleicht sind auch deine derzeitigen 4GB Ram der Flaschenhals, ich habe meiner TS-251+ vor ein paar Monaten 16GB spendiert.
Wenn beide Bildschirme erkannt werden (und du die Instabilität in den Griff bekommst) könntest wie bereits angesprochen auf dem 2. Monitor einen eigenen X-Server laufen lassen. Die Grundlagen dazu kannst du z.B. unter https://wiki.ubuntuusers.de/Eigener_XServer_f%C3%BCr_Spiele/ nachlesen. Prinzipiell sollte das auch für Kodi oder andere Programme funktionieren. Für die Eingabegeräte (Tastatur/Fernbedienung) müsste man noch ein wenig basteln, aber ich meine schonmal irgendwo gelesen zu haben, das es möglich ist verschiedene Eingabegeräte an den jeweiligen X-Server zu binden.